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Convex Set
研究凸集的重要性源于它們內(nèi)在的優(yōu)秀性質(zhì)，凸性在優(yōu)化理論中占據(jù)核心地位。本文著重于概念介紹，而非詳盡證明，主要參考了Boyd的《凸優(yōu)化》和GTM 264《泛函分析、變分法與最優(yōu)控制》等資料。
在一般討論中，我們默認(rèn)的工作空間是實(shí)數(shù)域。一個(gè)集合如果滿足對(duì)任意[公式]和[公式]，有[公式]，那么它是仿射集，仿射集可理解為線性子空間的平移。仿射集的概念是理解非齊次線性方程組解集的基礎(chǔ)，而線性子空間對(duì)應(yīng)的是齊次方程組的解。
對(duì)任何集合，定義其仿射包是包含該集合的最小仿射集，這揭示了集合的維度和相對(duì)內(nèi)點(diǎn)概念。相對(duì)內(nèi)點(diǎn)與常規(guī)內(nèi)點(diǎn)不同，比如正方形的相對(duì)內(nèi)點(diǎn)在縮小空間后會(huì)變?yōu)檎嬲齼?nèi)點(diǎn)，而球面沒有相對(duì)內(nèi)點(diǎn)。
凸集的定義是，對(duì)任意[公式]和[公式]，有[公式]。仿射集是凸集的一種，凸包是包含所有點(diǎn)的最小凸集。錐在優(yōu)化理論中獨(dú)特，它定義為滿足[公式]的集合，但不一定是凸的，只有當(dāng)它是凸的，才稱為凸錐。
舉例來說，單位正方形、球體、橢球等都是凸集。這些集合的表示和性質(zhì)，如Caratheodory定理、Minkowski-Weyl定理，展示了多面體的結(jié)構(gòu)和表示方法。
保持凸性的操作包括線性函數(shù)下的半平面交集，以及仿射函數(shù)下的凸性保持。透視函數(shù)和線性分?jǐn)?shù)變換也確保了凸集在變換后的像仍保持凸性。
正規(guī)錐，特別是正定矩陣錐，是優(yōu)化理論中的關(guān)鍵概念，它們能定義偏序關(guān)系，如半正定矩陣的比較。最大和最小元素在有序集合中是自然的研究對(duì)象，極小元和極大元的概念在此背景下產(chǎn)生。
支撐超平面和分離定理在凸集的分析中至關(guān)重要，它們描述了如何通過超平面將不相交的凸集分開。對(duì)偶錐是理解凸集性質(zhì)的重要工具，它們是原始錐的對(duì)稱，對(duì)偶廣義不等式和對(duì)偶極小元/極小元提供了問題的另一種視角。
支撐函數(shù)和對(duì)偶范數(shù)進(jìn)一步深化了凸集的幾何理解和算子理論的聯(lián)系，它們展示了凸集與支撐超平面之間的關(guān)系，并揭示了對(duì)偶空間在范數(shù)定義下的算子性質(zhì)。
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